El día de hoy os presentamos un ejercicio bastante interesante. Lo que nos toca hacer es calcular el radio de una circunferencia conocido su centro y una recta secante a la misma.
El ejercicio reza así:
Hallar el radio de la circunferencia con centro en C(1,-7) sabiendo que la recta L:4X+3Y-8=0 es secante a dicha circunferencia y corta en la misma una cuerda de 6 unidades de longitud.
Lo primero a realizar es dibujar la situación que se nos presenta. En este caso, sería así:
Como vemos, la recta L, al ser secante a la circunferencia, corta obligatoriamente una cuerda. Esta cuerda en cuestión tiene una longitud de 6 unidades, es decir, los puntos de intersección de la recta con la circunferencia (D y E) distan 6 u entre sí.
Para resolver este ejercicio tan solo basta utilizar un poco el análisis.
El radio de la circunferencia, que es lo que nos piden, es sencillamente la distancia desde el centro de la circunferencia a cualquier punto de ella; no importa como tracemos el radio, si el segmento comienza en el centro y termina en cualquier punto de la circunferencia, entonces ese segmento representa al radio.
En base a eso, se puede trazar un radio que sea perpendicular a la cuerda de 6 unidades. Y si recordamos (o si no, ahora lo sabrás), cuando trazamos un radio perpendicular a una cuerda, esa cuerda queda dividida en dos segmento de igual longitud (una longitud igual a la mitad de la longitud de la cuerda).
En la imagen observamos la cuerda que es el segmento DE. Cuando trazamos el radio perpendicular (segmento CG), la cuerda se divide en dos segmentos de igual longitud: DF y FE. Como la cuerda tiene 6 unidades de longitud, los segmentos miden cada uno 3 unidades.
Luego, podemos utilizar un poco la imaginación y trazamos un radio que estará comprendido entre punto C y el punto E. De esta forma, habremos obtenido un triangulo rectangulo, donde los catetos son el segmento CF y el segmento FE (que mide 3 unidades) y la hipotenusa es el radio de la circunferencia. Y es precisamente este triangulo el que nos dará la respuesta del ejercicio.
Podemos aplicar el teorema de Pitagoras:
Sabiendo cuanto mide el segmento CF, podemos calcular el radio de la circunferencia aplicando el teorema. Resulta que ese segmento, no es más que la distancia entre el centro de la circunferencia y la recta secante, ya que, recordemos que la cuerda forma parte de la circunferencia.
Por tanto, podemos aplicar la formula de la distancia para calcular la medida de ese lado del triangulo:
Sabiendo que los catetos del triangulo rectángulo miden 5 y 3 respectivamente, aplicamos el teorema de Pitagoras.
El ejercicio reza así:
Hallar el radio de la circunferencia con centro en C(1,-7) sabiendo que la recta L:4X+3Y-8=0 es secante a dicha circunferencia y corta en la misma una cuerda de 6 unidades de longitud.
Lo primero a realizar es dibujar la situación que se nos presenta. En este caso, sería así:
Como vemos, la recta L, al ser secante a la circunferencia, corta obligatoriamente una cuerda. Esta cuerda en cuestión tiene una longitud de 6 unidades, es decir, los puntos de intersección de la recta con la circunferencia (D y E) distan 6 u entre sí.
Para resolver este ejercicio tan solo basta utilizar un poco el análisis.
El radio de la circunferencia, que es lo que nos piden, es sencillamente la distancia desde el centro de la circunferencia a cualquier punto de ella; no importa como tracemos el radio, si el segmento comienza en el centro y termina en cualquier punto de la circunferencia, entonces ese segmento representa al radio.
En base a eso, se puede trazar un radio que sea perpendicular a la cuerda de 6 unidades. Y si recordamos (o si no, ahora lo sabrás), cuando trazamos un radio perpendicular a una cuerda, esa cuerda queda dividida en dos segmento de igual longitud (una longitud igual a la mitad de la longitud de la cuerda).
En la imagen observamos la cuerda que es el segmento DE. Cuando trazamos el radio perpendicular (segmento CG), la cuerda se divide en dos segmentos de igual longitud: DF y FE. Como la cuerda tiene 6 unidades de longitud, los segmentos miden cada uno 3 unidades.
Luego, podemos utilizar un poco la imaginación y trazamos un radio que estará comprendido entre punto C y el punto E. De esta forma, habremos obtenido un triangulo rectangulo, donde los catetos son el segmento CF y el segmento FE (que mide 3 unidades) y la hipotenusa es el radio de la circunferencia. Y es precisamente este triangulo el que nos dará la respuesta del ejercicio.
Podemos aplicar el teorema de Pitagoras:
r2
= CF2 + FE2
Por tanto, podemos aplicar la formula de la distancia para calcular la medida de ese lado del triangulo:
d(L,C)=|AX+BY+C|/ √A2+B2
d(L,C)=|4(1)+3(-7)-8|/ √42+32
d(L,C)=|-25|/ √25
d(L,C)=25/5
d(L,C)=5
r2=52+32
r2=25+9
r2=34
r=√34
Y esta es la respuesta del ejercicio.
Adicionalmente, podemos escribir la formula de la circunferencia ahora que conocemos el radio:
C:(X-1)2+(Y+7)2=34
